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<!DOCTYPE html>

<title>Distribution (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Distribution (Mathematik)</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Distribution bezeichnet im Bereich der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine besondere Art eines <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionals</a>, also ein Objekt aus der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>.

Die Theorie der Distributionen ermöglicht es, eine Art von Lösungen für Differentialgleichungen zu definieren, die im klassischen Sinn nicht hinreichend oft <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">differenzierbar</a> oder gar nicht definiert sind (siehe <a href="Distributionelle_L%C3%B6sung" title="Distributionelle Lösung">distributionelle Lösung</a>). In diesem Sinne können Distributionen als eine Verallgemeinerung des Begriffs der <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> angesehen werden. Es gibt <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partielle Differentialgleichungen</a>, die keine klassischen Lösungen, aber Lösungen im distributionellen Sinn haben. Die Theorie der Distributionen ist daher insbesondere in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> und in den <a href="Ingenieurwissenschaften" title="Ingenieurwissenschaften">Ingenieurwissenschaften</a> wichtig: Viele der dort untersuchten Probleme führen nämlich zu <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a>, die nur mit Hilfe der Theorie der Distributionen gelöst werden konnten.

Der Mathematiker <a href="Laurent_Schwartz" title="Laurent Schwartz">Laurent Schwartz</a> war maßgeblich an der Untersuchung der Theorie der Distributionen beteiligt. Im Jahr 1950 veröffentlichte er den ersten systematischen Zugang zu dieser Theorie. Für seine Arbeiten über die Distributionen erhielt er die <a href="Fields-Medaille" title="Fields-Medaille">Fields-Medaille</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte_der_Distributionentheorie">Geschichte der Distributionentheorie</h2></div>

Im Jahr 1903 führte <a href="Jacques_Hadamard" title="Jacques Hadamard">Jacques Hadamard</a> den für die Distributionentheorie zentralen Begriff des <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionals</a> ein. Aus heutiger Sicht ist ein Funktional eine Funktion, die anderen Funktionen eine Zahl zuordnet. Hadamard konnte zeigen, dass jedes <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige</a>, <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">lineare</a> Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> als Grenzwert einer <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> von <a href="Integral" class="mw-redirect" title="Integral">Integralen</a>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)=\lim _{n\to \infty }\int f(t)g_{n}(t)\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8203fceb949c3b60ada40e43be880216dba9dce5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.099ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(f)=\lim _{n\to \infty }\int f(t)g_{n}(t)\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

dargestellt werden kann. In dieser Darstellung dürfen Grenzwert und Integral im Allgemeinen nicht vertauscht werden. Im Jahr 1910 konnte gezeigt werden, dass jedes stetige, lineare Funktional auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{p}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.642ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L^{p}}" loading="lazy">, dem <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">Raum der p-integrierbaren Funktionen</a>, als

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)=\int f(x)g(x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f911bd9a3f73091bba23fa0bba0e73680b79639.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.698ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(f)=\int f(x)g(x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in L^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in L^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0594cee28a2a361218361ccc05980fb786ae4eae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.528ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle g\in L^{q}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0258202dfc8069365da867d2ef863a2a53f04ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.422ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}" loading="lazy"> dargestellt werden kann. Bei dieser Formulierung muss kein Grenzwert gebildet werden und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> ist eindeutig bestimmt. Deshalb wird das Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> oft mit der „Funktion“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> identifiziert. Dann hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> zwei unterschiedliche Bedeutungen: Zum einen versteht man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f58b2af9047d1bd68a9937af5b427b3fa4ab0a44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.571ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L^{q}}" loading="lazy">-„Funktion“, zum anderen wird es mit dem Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> gleichgesetzt.

Als erster beschäftigte sich <a href="Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a> in den 1920er Jahren bei Forschungen in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> mit Distributionen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Er führte dabei die wichtige <a href="Delta-Distribution" title="Delta-Distribution">Delta-Distribution</a> ein. Jedoch benutzte er noch keine mathematisch präzise Definition für diese Distribution. Er ließ bei seinen Untersuchungen die damalige Funktionalanalysis, also die Theorie der Funktionale, außer Acht. In den 1930er Jahren beschäftigte sich <a href="Sergei_Lwowitsch_Sobolew" title="Sergei Lwowitsch Sobolew">Sergei Lwowitsch Sobolew</a> mit <a href="Anfangswertproblem" title="Anfangswertproblem">Anfangswertproblemen</a> bei <a href="Partielle_Differentialgleichung#Hyperbolische_partielle_Differentialgleichungen" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen hyperbolischen Differentialgleichungen</a>. Für diese Untersuchungen führte er die heute nach ihm benannten <a href="Sobolew-Raum" class="mw-redirect" title="Sobolew-Raum">Sobolew-Räume</a> ein. Im Jahr 1936 untersuchte Sobolew hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit <a href="Analytische_Funktion" title="Analytische Funktion">analytischen Koeffizientenfunktionen</a>. Um ein griffigeres Kriterium für die Existenz einer Lösung dieser partiellen Differentialgleichung angeben zu können, erweiterte Sobolew die Fragestellung auf den Raum der Funktionale.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Damit war er der erste, der die heutige Definition einer Distribution formulierte. Er entwickelte allerdings noch keine umfassende Theorie aus seinen Definitionen, sondern verwendete sie nur als Hilfsmittel zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen.

Schließlich entwickelte <a href="Laurent_Schwartz" title="Laurent Schwartz">Laurent Schwartz</a> die Theorie der Distributionen im Winter 1944/45. Zu diesem Zeitpunkt waren ihm Sobolews Arbeiten noch unbekannt, doch stieß auch er genau wie Sobolew durch Fragen im Bereich der partiellen Differentialgleichungen auf spezielle Funktionale, die er nun Distributionen nannte.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Von da an wurde die Theorie derart schnell weiterentwickelt, dass Schwartz darüber schon im Winter 1945/46 Vorlesungen in Paris halten konnte. Elektrotechniker, die seine Vorlesungen besuchten, drängten ihn dazu, seine Theorie in Richtung der <a href="Kontinuierliche_Fourier-Transformation" class="mw-redirect" title="Kontinuierliche Fourier-Transformation">Fourier-</a> und der <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplacetransformationen</a> weiterzuentwickeln. Im Jahr 1947 hatte Schwartz den Raum der <a href="Temperierte_Distribution" title="Temperierte Distribution">temperierten Distributionen</a> definiert und damit die Fourier-Transformationen in seine Theorie integriert. 1950/51 erschien seine <a href="Monografie" title="Monografie">Monografie</a> Theorie des Distributions, wodurch seine Theorie weiter gefestigt wurde. Schon 1950 erhielt er für seine Forschungen im Bereich der Distributionen die <a href="Fields-Medaille" title="Fields-Medaille">Fields-Medaille</a>, eine der höchsten Auszeichnungen im Bereich der Mathematik.

Die Theorie der Distributionen wurde von da an in der <a href="Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen Physik</a> und in der Theorie der <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> weiterentwickelt. Die Distributionentheorie ist nützlich, um singuläre Objekte der Physik wie zum Beispiel die elektromagnetische <a href="Punktladung" title="Punktladung">Punktladung</a> oder die <a href="Punktmasse" class="mw-redirect" title="Punktmasse">Punktmasse</a> mathematisch präzise zu beschreiben. Diese beiden physikalischen Objekte können mit Hilfe der Delta-Distribution geeignet beschrieben werden, denn von der räumlichen <a href="Dichtefunktion" title="Dichtefunktion">Dichtefunktion</a> eines Massenpunktes mit Einheitsmasse wird gefordert, dass sie überall verschwindet, außer an einem Punkt. Dort muss sie unendlich werden, da das Raumintegral über die Dichtefunktion 1 ergeben soll (Einheitsmasse). Es gibt keine Funktion im üblichen Sinn, die diese Forderungen erfüllt. In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der <a href="Fourieranalyse" class="mw-redirect" title="Fourieranalyse">Fourieranalyse</a> sind Distributionen wichtig, da mit dieser Begriffsbildung jeder <a href="Lokal_integrierbare_Funktion" title="Lokal integrierbare Funktion">lokal integrierbaren Funktion</a> eine Ableitung zugeordnet werden kann.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Distribution">Distribution</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79774d994aac0be34ef390915fed12cbce816f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine offene, <a href="Menge_(Mathematik)#Nichtleere_Menge" title="Menge (Mathematik)">nichtleere</a> Menge.

Eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist ein <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetiges</a> und <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">lineares</a> <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a> auf dem Raum der <a href="Testfunktion" title="Testfunktion">Testfunktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy">.

Ausführlich ist eine Distribution eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Abbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bcdfac001f8362cafed8cfebc740c60d0bb6e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }" loading="lazy"> beziehungsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13a272f7f0e3f2f276e86dd970b600130345c551.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, so dass für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cdbd8a3c9daa2af2c98dcc8a7208a53ade78ea5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.033ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11a6d1585381827bdf73529c2a418bc14098567c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.874ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi _{1}+\lambda \phi _{2})=T(\phi _{1})+\lambda T(\phi _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38f6582fef4ded79927ec3b0b8b700dd71ee1e12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.585ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(\phi _{1}+\lambda \phi _{2})=T(\phi _{1})+\lambda T(\phi _{2})}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi _{n})\to T(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/381530964dcc49badfa43fe8a5962abff8561606.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.495ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(\phi _{n})\to T(\phi )}" loading="lazy">,</dd></dl>

wann immer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{n}\to \phi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{n}\to \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62e9fad4eb65e03924bdfb1a7aa24ea6765423ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.603ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{n}\to \phi }" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy">, gilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Raum_der_Distributionen">Raum der Distributionen</h3></div>

Die Menge der Distributionen ist mit den entsprechenden Verknüpfungen der Addition und der <a href="Skalarmultiplikation" title="Skalarmultiplikation">Skalarmultiplikation</a> also der topologische <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> zum Testfunktionenraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"> und wird daher als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e2f98d79586d30daa2e37f8c17ac423dec6204.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.477ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'}" loading="lazy"> notiert. Das Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/761bf83727fb142497cfbee036fd61b368d4fbf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:0.685ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle '}" loading="lazy"> bezeichnet in der Funktionalanalysis den topologischen Dualraum. Um überhaupt von Stetigkeit und topologischem Dualraum sprechen zu können, muss der Raum der Testfunktionen mit einer <a href="Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexen</a> Topologie ausgestattet sein.

Oft verwendet man daher die folgende Charakterisierung als alternative Definition, da diese ohne die Topologie des Testfunktionenraums auskommt und kein Wissen über lokalkonvexe Räume erforderlich ist:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79774d994aac0be34ef390915fed12cbce816f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine offene Menge. Ein lineares Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bcdfac001f8362cafed8cfebc740c60d0bb6e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {C} }" loading="lazy"> heißt Distribution, wenn für jedes Kompaktum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\subset \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/685a8b4e07d58637ae0e38517fc1009c614677b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.842ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K\subset \Omega }" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c84d4126c6df243734f9355927c026df6b0d3859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C>0}" loading="lazy"> und ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy"> existieren, sodass für alle Testfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(K)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17a7de23e954853a398ed1c6b72b150275543805.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.893ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(K)}" loading="lazy"> die Ungleichung

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |T(\phi )|\leq C\|\phi \|_{C_{b}^{k}(K)}:=C\sum _{|\alpha |\leq k}^{}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bff4c4d2cff1932fb7eccb427a55b710e2cfcce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:42.525ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle |T(\phi )|\leq C\|\phi \|_{C_{b}^{k}(K)}:=C\sum _{|\alpha |\leq k}^{}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. Diese Definition ist äquivalent zu der zuvor gegebenen, denn die Stetigkeit des Funktionals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> folgt aus dieser Ungleichung, obwohl sie nicht für ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> gelten muss, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> als <a href="(LF)-Raum" title="(LF)-Raum">(LF)-Raum</a> <a href="Bornologischer_Raum" title="Bornologischer Raum">bornologisch</a> ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ordnung_einer_Distribution">Ordnung einer Distribution</h3></div>

Kann in der obigen alternativen Definition für alle Kompakta <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> dieselbe Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> gewählt werden, so wird das kleinstmögliche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> als Ordnung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> bezeichnet. Die Menge der Distributionen der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f584cf41047858f35497348ebd04818e4340dfd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.82ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}" loading="lazy"> bezeichnet und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'_{F}(\Omega ):=\bigcup _{k}{\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'_{F}(\Omega ):=\bigcup _{k}{\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87e977162cb25c68cdfc5812e716d0fd4524c35b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.72ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'_{F}(\Omega ):=\bigcup _{k}{\mathcal {D}}'^{k}(\Omega )}" loading="lazy"> notiert man die Menge aller Distributionen mit endlicher Ordnung. Dieser Raum ist kleiner als der allgemeine Distributionenraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c384f88ae7af0be2e744d6252ed39d26c6504b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.964ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy">, denn es gibt auch Distributionen, die nicht von endlicher Ordnung sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reguläre_Distribution">Reguläre Distribution</h3></div>

Eine besondere Teilmenge der Distributionen sind die regulären Distributionen. Diese Distributionen werden durch eine <a href="Lokal_integrierbare_Funktion" title="Lokal integrierbare Funktion">lokal integrierbare Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/140d7598b9c187e8e759d238cac35cb4a214e46a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.65ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> erzeugt. Präzise bedeutet dies, dass eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> regulär genannt wird, wenn es eine Darstellung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{f}(\phi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)\phi (t)\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a29cadcdc15c029be9014d04638d87b4032ecb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.944ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T_{f}(\phi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)\phi (t)\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

gibt, bei der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/140d7598b9c187e8e759d238cac35cb4a214e46a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.65ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> eine lokal integrierbare Funktion ist. Distributionen, die nicht regulär sind, werden singulär genannt; dies sind Distributionen, für die es keine erzeugende Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> im Sinn dieser Definition gibt.

Diese Integraldarstellung einer regulären Distribution motiviert zusammen mit dem Skalarprodukt im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> die alternative Schreibweise

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T,\phi ):=T(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b8e005d7ecf72064f7d241f3c026e0821eacdb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.441ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T,\phi ):=T(\phi )}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle (nicht nur reguläre) Distributionen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Testfunktionen">Testfunktionen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Testfunktion" title="Testfunktion">Testfunktion</a></div>

In der Definition der Distribution ist der Begriff der Testfunktion beziehungsweise der des Testfunktionenraums zentral. Dieser Testfunktionenraum ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger zusammen mit einer induzierten <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">Topologie</a>. Eine Topologie auf dem Testfunktionenraum zu wählen ist sehr wichtig, weil sonst der Begriff der Stetigkeit nicht sinnvoll definiert werden kann. Die Topologie wird auf dem Raum durch einen Konvergenzbegriff festgelegt.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79774d994aac0be34ef390915fed12cbce816f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offene Teilmenge</a>, dann bezeichnet

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega )\mid \operatorname {supp} \,(\phi )\mathrm {~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ab18d22fa5c01d37813fe3737ac480e1904a2f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:65.42ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega )\mid \operatorname {supp} \,(\phi )\mathrm {~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakten</a> <a href="Tr%C3%A4ger_(Mathematik)" title="Träger (Mathematik)">Träger</a> haben, also außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind. Der Konvergenzbegriff wird festgelegt, indem man definiert: Eine Folge

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12161a25f21ece793f46cdef199d868d690bec56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.297ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}" loading="lazy">

mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/655be8252588d0a04d6f62ed0b48496cca756807.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.296ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy">

konvergiert gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\phi }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf2f7c773dfea3549179d15219e6e06b74054be1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\phi }}" loading="lazy">, wenn es ein Kompaktum

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/685a8b4e07d58637ae0e38517fc1009c614677b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.842ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K\subset \Omega }" loading="lazy">

gibt mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/021bcec490af9160b15db5cde2ce7ddc61ed3ef4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.063ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}" loading="lazy">

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy"> und

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}-\phi \right)(x)\right|=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/482b4a6b07d7af18dd42ad9b30ee23e99d479332.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.019ex; width:30.824ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}-\phi \right)(x)\right|=0}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle Multiindizes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/310828fd2296815670d220826d562bb6ba6f5f42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.225ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}" loading="lazy">. Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aa0ab489393b3d3a2962fcaa861528871f223f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"> ist – ausgestattet mit diesem Konvergenzbegriff – ein <a href="Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexer Raum</a>, den man Raum der Testfunktionen nennt und als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> notiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zwei_unterschiedliche_Sichtweisen">Zwei unterschiedliche Sichtweisen</h2></div>

Wie weiter oben im Abschnitt zur Definition der Distribution beschrieben, ist eine Distribution ein <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a>, also eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> mit bestimmten Zusatzeigenschaften. Im Abschnitt Geschichte der Distributionentheorie wurde dagegen gesagt, dass die Delta-Distribution keine Funktion sein kann. Dies ist offensichtlich ein Widerspruch, der sich auch in der aktuellen Literatur noch wiederfindet. Dieser Widerspruch entsteht dadurch, dass versucht wird, Distributionen – und auch Funktionale auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{p}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.642ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L^{p}}" loading="lazy">-Räumen – mit reellwertigen Funktionen zu identifizieren.

Insbesondere in der theoretischen Physik versteht man unter einer Distribution ein Objekt, beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> genannt, mit gewissen sich aus dem Kontext ergebenden Eigenschaften. Die gewünschten Eigenschaften verhindern oft, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> eine Funktion sein kann, aus diesem Grund spricht man dann von einer verallgemeinerten Funktion. Nachdem nun die Eigenschaften von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> festgelegt sind, betrachtet man die Zuordnung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )\ni \phi \mapsto \int \delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x\in \mathbb {R} ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13315d900ec8da059fdbdf233a58061419a58e40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.081ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )\ni \phi \mapsto \int \delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x\in \mathbb {R} ,}" loading="lazy"></dd></dl>

die einer Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\phi }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf2f7c773dfea3549179d15219e6e06b74054be1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\phi }}" loading="lazy"> eine reelle Zahl zuordnet. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> jedoch im Allgemeinen keine Funktion ist, muss für den Ausdruck von Fall zu Fall erst ein Sinn erklärt werden.

Mathematisch gesehen ist eine Distribution eine Funktion mit bestimmten abstrakten Eigenschaften (Linearität und Stetigkeit), die einer Testfunktion eine reelle Zahl zuordnet. Ist das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> aus vorigem Absatz eine integrierbare Funktion, so ist der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle T(\phi )=\int \delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle T(\phi )=\int \delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe7e0b410c7891fe38442694959732a93be55d89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.069ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle T(\phi )=\int \delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"> mathematisch präzise definiert. Jedoch wird hier nicht die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> als Distribution bezeichnet, sondern das Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \int \delta (x)\cdot \mathrm {d} x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \int \delta (x)\cdot \mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/466124b83b913dbe7cb78b32ee4f7affc47bd3b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.294ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \int \delta (x)\cdot \mathrm {d} x}" loading="lazy"> heißt Distribution.

Auch viele Mathematiklehrbücher unterscheiden nicht zwischen der (distributions-) erzeugenden Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> und der eigentlichen Distribution im mathematischen Sinne. In diesem Artikel wird vorwiegend die strengere mathematische Sichtweise verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stetige_Funktion_als_Erzeuger">Stetige Funktion als Erzeuger</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6e4798f8348382c8a592b0dc452642fbfecdebe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.455ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C(\Omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad91fe284658d1b7dbf0c3f41c2126690472132.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C(\Omega )}" loading="lazy">, so ist durch

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7482502b2c925a7c7188c39425e85fa9e6aa2f88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.974ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle T(\phi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cb1e3f43288b118761edf6cd8d785e02a519c64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"> eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> definiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Delta-Distribution">Delta-Distribution</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Delta-Distribution" title="Delta-Distribution">Delta-Distribution</a></div>

Die Delta-Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> ist eine singuläre Distribution. Das heißt, sie kann nicht durch eine gewöhnliche Funktion erzeugt werden, obwohl sie oft wie eine solche geschrieben wird. Es gilt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (\phi ):=\phi (0).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8795ef13db2c1404c0fa39e18b12bc24a4ed380.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.993ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (\phi ):=\phi (0).}" loading="lazy"></dd></dl>

Das heißt, die Delta-Distribution angewendet auf eine Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\phi }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf2f7c773dfea3549179d15219e6e06b74054be1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\phi }}" loading="lazy"> ergibt den Wert der Testfunktion an der Stelle 0. So wie jede andere Distribution kann man auch die Delta-Distribution als Folge von Integraltermen ausdrücken. Die <a href="Dirac-Folge" class="mw-redirect" title="Dirac-Folge">Dirac-Folge</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9b1054b4de7e3942fe503bce624325bd11e9859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:21.542ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

hat den Grenzwert (vergleiche z. B. die nebenstehende Animation)

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathrm {Gw} }(x):=\lim _{a\to 0}\delta _{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq 0\\\infty &x=0\end{cases}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd6849c6e02fcfa257fdcd6afc8f60c9c7f9ad4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.246ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathrm {Gw} }(x):=\lim _{a\to 0}\delta _{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq 0\\\infty &x=0\end{cases}}\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

was zu dem verschwindenden Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }{\rm {Gw}}(x){\rm {d}}x=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }{\rm {Gw}}(x){\rm {d}}x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abdec08821b5e107edd99cc7e3ff6e1252cb5195.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.428ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }{\rm {Gw}}(x){\rm {d}}x=0}" loading="lazy"> führen würde. Denn das Verhalten in nur einem Punkt fällt bei Integralen gewöhnlicher Funktionen nicht ins Gewicht.

Mit dieser Dirac-Folge kann man aber mit anderer Grenzwertbildung, vor dem Integral und nicht dahinter, die Delta-Distribution durch

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (\phi )=\lim _{a\to 0}\int _{\mathbb {R} }\delta _{a}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0}\int _{\mathbb {R} }{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ab1e9ce636639df80fd6d0e8c0fb9b666e0f7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:62.615ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \delta (\phi )=\lim _{a\to 0}\int _{\mathbb {R} }\delta _{a}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0}\int _{\mathbb {R} }{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}" loading="lazy"></dd></dl>

darstellen. Meistens wird allerdings die symbolische, zu mathematisch unpräziser Interpretation verleitende Schreibweise

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (\phi )=\int _{\mathbb {R} }\delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b23e7c86d16e14444142f9e093a62195b4dc959a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.23ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \delta (\phi )=\int _{\mathbb {R} }\delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}" loading="lazy"></dd></dl>

für die Delta-Distribution verwendet, wobei man den Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4457507451c205a7e6adda92d919ee4c4a369cea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.188ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (x)}" loading="lazy"> als verallgemeinerte Funktion bezeichnet und oft sogar das Wort verallgemeinert weglässt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dirac-Kamm">Dirac-Kamm</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Dirac-Kamm" title="Dirac-Kamm">Dirac-Kamm</a></div>

Der Dirac-Kamm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta _{T}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de2ab103b073a960d85c061aeadaa5cb6d66dbc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta _{T}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dc942013c1e7b6ace10ca49d838176c318b6abf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.155ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist eine periodische Distribution, die mit der diracschen Delta-Distribution eng verwandt ist. Diese Distribution ist für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c77b33b2bccc0591128fd36e68c3c70869cc23e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}" loading="lazy"> definiert als

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{T}(\phi ):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\phi (nT).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2930ff2da1197e687b9d44250e066717c133d5c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.88ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta _{T}(\phi ):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\phi (nT).}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese <a href="Reihe_(Mathematik)" title="Reihe (Mathematik)">Reihe</a> konvergiert, da die Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\phi }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf2f7c773dfea3549179d15219e6e06b74054be1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\phi }}" loading="lazy"> kompakten <a href="Tr%C3%A4ger_(Mathematik)" title="Träger (Mathematik)">Träger</a> hat und daher nur endlich viele Summanden ungleich null sind. Eine äquivalente Definition ist

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{T}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta _{nT},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bbd91cd98b787892bedf905d22ef64e13c507f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.22ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta _{T}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta _{nT},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei das Gleichheitszeichen als Gleichheit zwischen Distributionen zu verstehen ist. Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert dann bezüglich der <a href="Schwach-*-Topologie" title="Schwach-*-Topologie">Schwach-*-Topologie</a>. Auf die Konvergenz von Distributionen wird im <a href="#Konvergenz">Abschnitt Konvergenz</a> näher eingegangen. Das in der Definition auftretende <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist eine reelle Zahl, die man als Periode des Dirac-Kamms bezeichnet. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Delta-Distributionen zusammengesetzt, die im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> zueinander stehen. Der Dirac-Kamm hat im Gegensatz zur Delta-Distribution keinen kompakten Träger. Was dies genau bedeutet, wird im Abschnitt <a href="#Kompakter_Träger">Kompakter Träger</a> weiter unten erklärt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Radon-Maße">Radon-Maße</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Radon-Ma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Radon-Maß">Radon-Maß</a></div>

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(\Omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/341b4cb4af4d969ed2814f60c0ea63adfeffc669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(\Omega )}" loading="lazy"> wird die Menge aller Radon-Maße bezeichnet. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \in M(\Omega ).}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \in M(\Omega ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58c2f7904cd84ed8e7797372fb8e526733fbbace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.819ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu \in M(\Omega ).}" loading="lazy"> Nun kann man mittels

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \mapsto \left({\mathcal {D}}(\Omega )\ni \phi \mapsto \int _{\Omega }\phi (x)\mathrm {d} \mu (x)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/075e0e0e1f9582ad72d6b1b5255ed4975ce431b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.012ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mu \mapsto \left({\mathcal {D}}(\Omega )\ni \phi \mapsto \int _{\Omega }\phi (x)\mathrm {d} \mu (x)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> eine Distribution zuordnen. Auf diese Weise kann man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(\Omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/341b4cb4af4d969ed2814f60c0ea63adfeffc669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(\Omega )}" loading="lazy"> <a href="Stetige_Abbildung" class="mw-redirect" title="Stetige Abbildung">stetig</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c384f88ae7af0be2e744d6252ed39d26c6504b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.964ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> <a href="Einbettung_(Mathematik)" title="Einbettung (Mathematik)">einbetten</a>. Ein Beispiel für ein Radon-Maß ist das <a href="Dirac-Ma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Dirac-Maß">Dirac-Maß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy">. Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subset \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c6f0fe3afa5f267857855898bc840bebc8152bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\subset \Omega }" loading="lazy"> ist es definiert durch

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}0\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e745d49941f1d478a3fe4ff5b73a0a1a19bae772.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.192ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \delta (A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}0\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Identifiziert man das Dirac-Maß mit der erzeugenden Distribution

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\ni \phi \mapsto \int _{\Omega }\phi (x)\mathrm {d} \delta (x)=\phi (0),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/180f759be2da78e97708f6df12cb6cc44df1a760.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.325ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\ni \phi \mapsto \int _{\Omega }\phi (x)\mathrm {d} \delta (x)=\phi (0),}" loading="lazy"></dd></dl>

so erhält man die Delta-Distribution, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa897bd19c05131b7e1111b8195ba945e0a6af3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.676ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cauchyscher_Hauptwert_von_1_/_x">Cauchyscher Hauptwert von 1 / x</h3></div>

Der <a href="Cauchyscher_Hauptwert" title="Cauchyscher Hauptwert">cauchysche Hauptwert</a> der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5162158f01ddb6247532a2db10b996b14b36f71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.72ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}" loading="lazy"> kann ebenfalls als Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bd0fea4596105225aea7190aeb237a11575bd20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}" loading="lazy"> aufgefasst werden. Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c77b33b2bccc0591128fd36e68c3c70869cc23e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}" loading="lazy"> setzt man

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&:={\text{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x\\&:=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x\right).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91aca2e9da41d169cbf38b02857fad6775b940d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:46.062ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&:={\text{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x\\&:=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}\mathrm {d} x\right).\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das ist eine singuläre Distribution, da der Integralausdruck im lebesgueschen Sinn nicht definiert ist und nur als cauchyscher Hauptwert existiert. Dabei steht die Abkürzung PV für principal value.

Diese Distribution wird meist zusammen mit der <a href="Dispersionsrelation" title="Dispersionsrelation">Dispersionsrelation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\tfrac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\,=\,{\rm {PV}}({\tfrac {1}{x}})+\mathrm {i} \pi \delta (x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\tfrac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\,=\,{\rm {PV}}({\tfrac {1}{x}})+\mathrm {i} \pi \delta (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14d89af0bd80213eb6a65e61e2b3cb6a804470be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:32.352ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\tfrac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\,=\,{\rm {PV}}({\tfrac {1}{x}})+\mathrm {i} \pi \delta (x)}" loading="lazy"> (Plemelj-Sokhotsky-Formel) benutzt, wobei alle Distributionen, insbesondere <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (\phi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b9f693583631e38aa009c226af750cea16781a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.243ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (\phi )}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(\phi ),}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi ),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9e7d8efdc6124e38b594be10ea69299699e6a4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.478ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(\phi ),}" loading="lazy"> wie angegeben durch verallgemeinerte Funktionen ausgedrückt sind und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {i} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18f0f09f6fc40e634d34aed6e205ac0f7a40e062.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {i} }" loading="lazy"> die imaginäre Einheit bezeichnet. Diese Beziehung verbindet in der linearen Antworttheorie Real- und Imaginärteil einer Antwortfunktion, siehe <a href="Kramers-Kronig-Beziehungen" title="Kramers-Kronig-Beziehungen">Kramers-Kronig-Beziehungen</a>. (An dieser Stelle wird angenommen, dass die Testfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> komplex sind, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c9c6b6892577594170839877be34fba3e3895c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.904ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \in \mathbb {C} }" loading="lazy">, und auch die gerade angesprochenen Antwortfunktionen; aber das Argument <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> soll nach wie vor reell sein, obwohl natürlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-\mathrm {i} \varepsilon }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-\mathrm {i} \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce0d6bf1ef924c9ffb7021b0d195b1578d531290.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.9ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-\mathrm {i} \varepsilon }" loading="lazy"> komplex ist, und nicht reell.)

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oszillierendes_Integral">Oszillierendes Integral</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Oszillierendes_Integral" title="Oszillierendes Integral">Oszillierendes Integral</a></div>

Für alle <a href="Symbolklasse" title="Symbolklasse">Symbole</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in S_{1,0}^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in S_{1,0}^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f999fae36ee43755929457c361fce6024241ebf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.053ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a\in S_{1,0}^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> nennt man

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3b9009a06773c00f9a8c364c9cc4790566cd67b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.202ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }" loading="lazy"></dd></dl>

ein oszillierendes Integral. Dieser Integraltyp konvergiert je nach Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> nicht im Riemann- oder Lebesguesinn, sondern nur im Sinn von Distributionen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konvergenz">Konvergenz</h2></div>

Da der Distributionenraum als <a href="Dualraum#Topologischer_Dualraum_eines_normierten_Raums" title="Dualraum">topologischer Dualraum</a> definiert ist, trägt er ebenfalls eine <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">Topologie</a>. Als Dualraum eines <a href="Montelraum" class="mw-redirect" title="Montelraum">Montelraums</a>, versehen mit der <a href="Dualraum#Starker_Dualraum_eines_lokalkonvexen_Raums" title="Dualraum">starken Topologie</a>, ist er selber ein Montelraum,<a href="#cite_note-4">[4]</a> daher fällt für Folgen die starke Topologie mit der <a href="Schwach-*-Topologie" title="Schwach-*-Topologie">Schwach-*-Topologie</a> zusammen. Für Folgen entsteht also folgender Konvergenzbegriff: Eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25fbf21de09aca7ee46e637c89b442ee86bd2fab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> von Distributionen konvergiert gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy">, wenn für jede Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/479c7884ae0e8c6e2fd680f7976df595bac628ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> die Gleichung

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{j\to \infty }T_{j}(\phi )=T(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbde8cf2630a57cab9c2c9bf50da14c98e8b2493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.019ex; width:17.761ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \lim _{j\to \infty }T_{j}(\phi )=T(\phi )}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt.

Weil jede Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c665c6496b185e910f01fa27f18b6109bdf7611.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle T_{f}(\phi ):=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle T_{f}(\phi ):=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13bbff67295c5297c990b6d65f5be2adbd39ad01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.901ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle T_{f}(\phi ):=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"> identifiziert werden kann, kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> als ein topologischer Teilraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c384f88ae7af0be2e744d6252ed39d26c6504b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.964ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> aufgefasst werden.

Der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> liegt <a href="Dichte_Teilmenge" title="Dichte Teilmenge">dicht</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c384f88ae7af0be2e744d6252ed39d26c6504b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.964ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy">. Das bedeutet, dass für jede Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine Folge von Testfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T_{j})_{j\in \mathbb {N} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T_{j})_{j\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/248f2bbd7141a471e38e09f7deb034ea4f38b02f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.269ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (T_{j})_{j\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \lim _{j\to \infty }T_{j}=T}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \lim _{j\to \infty }T_{j}=T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34a10941e986591cf9600922dcf972d701c248c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.815ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \lim _{j\to \infty }T_{j}=T}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c384f88ae7af0be2e744d6252ed39d26c6504b65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.964ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> existiert. Man kann also jede Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> durch

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi )=\lim _{j\to \infty }\int _{\Omega }T_{j}(x)\phi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/598aa4753e3f0a34200dc5ffb31adec111540bca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.932ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(\phi )=\lim _{j\to \infty }\int _{\Omega }T_{j}(x)\phi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

darstellen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lokalisierung">Lokalisierung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einschränkung_auf_eine_Teilmenge">Einschränkung auf eine Teilmenge</h3></div>

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y\subset \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\subset \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dcb1e2d475b6b880492a4e83150dde8f9ad2b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.545ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Y\subset \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> offene Teilmengen und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine Distribution. Die <a href="Einschr%C3%A4nkung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Einschränkung (Mathematik)">Einschränkung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T|_{Y}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T|_{Y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e9d45fabb2f4c15aa25d173d760478c03f8bad4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.769ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T|_{Y}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> auf die Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> ist definiert durch

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T|_{Y}(\phi )\colon =T({\tilde {\phi }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3324883716d7f26849c5eac4dafa2d735d85ce9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.364ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T|_{Y}(\phi )\colon =T({\tilde {\phi }})}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(Y)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7fc75b7a7071d03807edbc4963bdb27076d3b9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.601ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(Y)}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\phi }}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\phi }}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39975054a2bd9d075c820c643487ccce98e0eaa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.587ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\phi }}\in {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"> das auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \setminus Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \setminus Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86988eba690a499b5381e7932139ba4116119815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega \setminus Y}" loading="lazy"> durch null fortgesetzte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Träger">Träger</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in \Omega }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d366f1f3c2af8de6e18f48bc871029286f39c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.903ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in \Omega }" loading="lazy"> zum Träger von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> gehört, und schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in \operatorname {supp} (T)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in \operatorname {supp} (T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed3bee2c7051550ea7e7839aec851d9435ad6b68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.464ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in \operatorname {supp} (T)}" loading="lazy">, wenn für jede offene Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd99f623c186e918d527bc2cdc9611f2ce1cee4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\subset \Omega }" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/998179c62f0270bb6011d01618b3eb5387861ec7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.61ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}" loading="lazy"> existiert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(\phi )\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi )\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ac735ed532a8901d36f45c75f38136008d2ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.092ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(\phi )\neq 0}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eine reguläre Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=T_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09fbac0b2c8f50c40ef965d5f62a96dfa757c70f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T=T_{f}}" loading="lazy"> mit stetigem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des <a href="Tr%C3%A4ger_(Mathematik)#Träger_einer_Funktion" title="Träger (Mathematik)">Trägers einer Funktion</a> (der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kompakter_Träger">Kompakter Träger</h3></div>

Eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> hat einen kompakten Träger, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {supp} (T)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {supp} (T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57896bb74853ebe508c9bceb29c681480655b153.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.239ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {supp} (T)}" loading="lazy"> ein <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakter Raum</a> ist. Die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0169061a154e354d2c6b3ef4bf2b986f31f5588.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.021ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}'}" loading="lazy"> bezeichnet. Sie ist ein <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e2f98d79586d30daa2e37f8c17ac423dec6204.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.477ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'}" loading="lazy"> und der topologische Dualraum zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy">, dem Raum der <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">glatten Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }}" loading="lazy">. Auf diesem Raum wird durch die Familie von <a href="Halbnorm" title="Halbnorm">Halbnormen</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \mapsto \sum _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\phi (x)\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b70a6df8f2555d0ee88c55637dc5ca1b4e4ec97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:24.549ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \phi \mapsto \sum _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\phi (x)\right|}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> beliebige Werte aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"> annimmt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> alle kompakten Teilmengen des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> durchläuft, eine <a href="Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexe Topologie</a> erzeugt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Singulärer_Träger">Singulärer Träger</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in \Omega }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d366f1f3c2af8de6e18f48bc871029286f39c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.903ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in \Omega }" loading="lazy"> nicht zum singulären Träger <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {sing\,supp} (T)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {sing\,supp} (T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6548971d4249a2434c1d1efdb29562039e7f076.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.645ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {sing\,supp} (T)}" loading="lazy"> gehört, wenn es eine offene Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subset \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd99f623c186e918d527bc2cdc9611f2ce1cee4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U\subset \Omega }" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> und eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9271f99825877470cdcf8b2b36c5ac3bc2000bf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.384ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}" loading="lazy"> gibt mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\phi )=\int _{U}f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7004d07bbc7dae439208602b1868c973997ecac7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.666ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(\phi )=\int _{U}f(x)\phi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(U)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(U)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cc753e31060999acc089f9421536221d60173d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(U)}" loading="lazy">.

Anders gesagt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in \mathrm {sing\,supp} (T)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in \mathrm {sing\,supp} (T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c92a38ab5b9e09b9086bb16fc534f71f4b5ad86d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.869ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in \mathrm {sing\,supp} (T)}" loading="lazy"> genau dann, wenn es keine offene Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> gibt, sodass die Einschränkung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> gleich einer glatten Funktion ist. Insbesondere ist der singuläre Träger einer singulären Distribution nicht leer.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operationen_auf_Distributionen">Operationen auf Distributionen</h2></div>

Da der Distributionenraum mit punktweiser Addition und Multiplikation mit komplexen Zahlen ein <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> über dem <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> ist, sind die Addition von Distributionen und die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer Distribution schon definiert.

Im Folgenden werden weitere Operationen auf Distributionen wie die Ableitung einer Distribution erklärt. Viele Operationen werden auf Distributionen übertragen, indem die entsprechende Operation auf die Testfunktionen angewendet wird. Ist zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{1})\to L_{\text{loc}}^{1}(\Omega _{2})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{1})\to L_{\text{loc}}^{1}(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea20171a3a6def4159231eab1cbf3cee5a357112.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.93ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{1})\to L_{\text{loc}}^{1}(\Omega _{2})}" loading="lazy"> eine lineare Abbildung, die eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(\Omega _{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/680938138ceccddf139b5fbf37fa184ad9c3398f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(\Omega _{1})}" loading="lazy">-<a href="Testfunktion" title="Testfunktion">Testfunktion</a> auf eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega _{2})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0584757404771b0e242b72945efc49a72cb42646.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.366ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega _{2})}" loading="lazy">-Funktion abbildet, und existiert außerdem noch eine <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierte</a> lineare und folgenstetige Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{*}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{*}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d3953a756acceddf1a02aceb1859e2a372d313c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L^{*}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}" loading="lazy">, sodass für alle Testfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ef61edde77a71f9e1c2cd1605389d114bcba1e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.694ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eac243248bd8d76cb2b0c3cde12d6e7567337a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.687ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})}" loading="lazy"> gilt

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega _{1}}\varphi (x)(L^{*}\psi )(x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega _{2}}(L\varphi )(x)\psi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6640ab24523fbb6a0c8ba7873452f98ff2ff0710.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.277ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega _{1}}\varphi (x)(L^{*}\psi )(x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega _{2}}(L\varphi )(x)\psi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy">,</dd></dl>

dann ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {L}}\colon {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{2}){\text{, }}{\tilde {L}}(u)(\varphi )=u(L^{*}\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/727e9047acbe22f550bc1c53617dfcc8dfc0c48d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.941ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {L}}\colon {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{2}){\text{, }}{\tilde {L}}(u)(\varphi )=u(L^{*}\varphi )}" loading="lazy"></dd></dl>

eine wohldefinierte Operation auf Distributionen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikation_mit_einer_Funktion">Multiplikation mit einer Funktion</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in C^{\infty }(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in C^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f37fded4fefec3c1f050d33989e7a444c5771967.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\in C^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy">. Dann wird die Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aT\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aT\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93b25948f1b58aaada342fa855a38f8ae29a1c8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.671ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle aT\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> definiert durch

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\colon (aT)(\phi ):=T(a\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ce87690fd0a54c01d16045f51e37986c2d8513b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.508ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\colon (aT)(\phi ):=T(a\phi )}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Differentiation">Differentiation</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Motivation">Motivation</h4></div>

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> und die ihr zugeordnete reguläre Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbb8cb970fa8b6a14c3edcbd6951437428003b50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.494ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{f}}" loading="lazy">, so erhält man die Rechenregel

<mtr>

<mtd>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(T_{f^{\prime }},\varphi )&=\int _{\Omega }f^{\prime }(t)\varphi (t)\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{\Omega }f(t)\varphi ^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t\\&=-(T_{f},\varphi ^{\prime }).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69f35175eeb41cda4cb12b395df72b91f2c9e95a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:27.863ex; height:14.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(T_{f^{\prime }},\varphi )&=\int _{\Omega }f^{\prime }(t)\varphi (t)\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{\Omega }f(t)\varphi ^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t\\&=-(T_{f},\varphi ^{\prime }).\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hierbei wurde <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partielle Integration</a> verwendet, wobei die Randterme wegen der gewählten Eigenschaften der Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> wegfallen. Dies entspricht der <a href="Schwache_Ableitung" title="Schwache Ableitung">schwachen Ableitung</a>. Die beiden äußeren Terme sind auch für singuläre Distributionen definiert. Man verwendet dies zur Definition der Ableitung einer beliebigen Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition">Definition</h4></div>

Sei also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine Distribution, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/310828fd2296815670d220826d562bb6ba6f5f42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.225ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}" loading="lazy"> ein <a href="Multiindex" title="Multiindex">Multiindex</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40de8fa70c126001826d34da2a114349d8476bb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \Omega }" loading="lazy">. Dann ist die Distributionsableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c5a9a7e91fda38de7bc3444fdf14cc3ea1a5369.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.068ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> definiert durch

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\partial _{x}^{\alpha }T)(\phi ):=(-1)^{|\alpha |}T(\partial _{x}^{\alpha }\phi ),\quad \forall \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a38724014f021648f2c956452fae3cf00499c2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.605ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (\partial _{x}^{\alpha }T)(\phi ):=(-1)^{|\alpha |}T(\partial _{x}^{\alpha }\phi ),\quad \forall \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im eindimensionalen Fall bedeutet dies gerade

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'(\varphi )=-T(\varphi ')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e1be0e87b8a3b2616cd75e375887a05aaab03fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.291ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T'(\varphi )=-T(\varphi ')}" loading="lazy">.</dd></dl>

Häufig verwendet man für die Distributionsableitung auch die Notation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{\alpha }T}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{\alpha }T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6877c87f39bfe5b138c0b2d2600040a74ed4644a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.845ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle D^{\alpha }T}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel">Beispiel</h4></div>

Die <a href="Heaviside-Funktion" title="Heaviside-Funktion">Heaviside-Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34c10f542bed96db147d55312b5c2afe65c7f196.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.068ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist durch

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(x)={\begin{cases}0:&x\leq 0,\\1:&x>0,\end{cases}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(x)={\begin{cases}0:&x\leq 0,\\1:&x>0,\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a51f93d0042d2ceaf4ef8a2704b1d420e187eea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.81ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle H(x)={\begin{cases}0:&x\leq 0,\\1:&x>0,\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert. Sie ist mit Ausnahme der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> überall differenzierbar. Man kann sie als reguläre Distribution betrachten und die Rechnung

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(H^{\prime },\phi )&=-(H,\phi ^{\prime })\\&=-\int _{0}^{\infty }1\cdot \phi ^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=\phi (0)\\&=(\delta ,\phi )\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f492028e7b46ebb1c2b16ff9d47368e931166bc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.005ex; width:28.849ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(H^{\prime },\phi )&=-(H,\phi ^{\prime })\\&=-\int _{0}^{\infty }1\cdot \phi ^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=\phi (0)\\&=(\delta ,\phi )\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

zeigt, dass ihre Ableitung (als Distribution) die <a href="Delta-Distribution" title="Delta-Distribution">Delta-Distribution</a> ist:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{\prime }=\delta .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8b73196558373fba5bdf12ba952888fb26e9ac7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.582ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H^{\prime }=\delta .}" loading="lazy"></dd></dl>

Man kann außerdem die Delta-Distribution selbst ableiten:

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\delta ^{(n)},\phi \right)=(-1)^{n}\left(\delta ,\phi ^{(n)}\right)=(-1)^{n}\phi ^{(n)}(0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c99afef7229c4053451bc0dceff1f4932606144.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:42.923ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left(\delta ^{(n)},\phi \right)=(-1)^{n}\left(\delta ,\phi ^{(n)}\right)=(-1)^{n}\phi ^{(n)}(0)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Ableitungen der Delta-Distribution sind also bis auf den zusätzlichen Vorzeichenfaktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c490525b94310eb9d66c0282f8d28f652af9f40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)^{n}}" loading="lazy"> gleich den Ableitungen der Testfunktion an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.237ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tensorprodukt">Tensorprodukt</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Motivation_2">Motivation</h4></div>

Sei die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c52694aadbf20fdc7c0a255e5d61c7f1633d84b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.644ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2n}}" loading="lazy"> als Produktraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G:=G_{1}\times G_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G:=G_{1}\times G_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/484886a31bf1391dcee0869d575f59d03f0c2a19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.174ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G:=G_{1}\times G_{2}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1},G_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1},G_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6086b296a0f7cba6a78a5a22e7cec154ab0f9081.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.791ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle G_{1},G_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gegeben. Dann kann man auf den Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}\in C^{\infty }(G_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}\in C^{\infty }(G_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dd02448964329d1dcb3fde9ef8c15c3a35c319d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{1}\in C^{\infty }(G_{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}\in C^{\infty }(G_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}\in C^{\infty }(G_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ca4d4ac63bb7691bd721cdf103528e86502795a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{2}\in C^{\infty }(G_{2})}" loading="lazy"> mittels der Vorschrift

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f_{1}\otimes f_{2})(x,y)\mapsto f_{1}(x)f_{2}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f528c93c6b6ac5ede461a9a53e2a083d22c64d98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f_{1}\otimes f_{2})(x,y)\mapsto f_{1}(x)f_{2}(y)}" loading="lazy"></dd></dl>

ein <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> definieren. Analog dazu kann man ein Tensorprodukt zwischen Distributionen definieren. Dazu werden zuerst reguläre Distributionen betrachtet. Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}\in L_{loc}^{1}(G_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}\in L_{loc}^{1}(G_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d922c4049615e7e01939e291c53c5e4b61a37a09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.539ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{1}\in L_{loc}^{1}(G_{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}\in L_{loc}^{1}(G_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}\in L_{loc}^{1}(G_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c9c8cf083d6f7757a6d481baa23e197a390312a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.539ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{2}\in L_{loc}^{1}(G_{2})}" loading="lazy"> zwei lokal-integrierbare Funktionen, so folgt aus obiger Definition

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(f_{1}\otimes f_{2})(\phi )=&\int _{G_{1}\times G_{2}}f_{1}(x)f_{2}(y)\phi (x,y)\mathrm {d} (x,y)\\=&\int _{G_{1}}f_{1}(x)\int _{G_{2}}f_{2}(y)\phi (x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x\\=&\int _{G_{2}}f_{2}(y)\int _{G_{1}}f_{1}(x)\phi (x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbc97033068d26cf62f711a5592c16fa059b0d56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.671ex; width:47.086ex; height:18.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(f_{1}\otimes f_{2})(\phi )=&\int _{G_{1}\times G_{2}}f_{1}(x)f_{2}(y)\phi (x,y)\mathrm {d} (x,y)\\=&\int _{G_{1}}f_{1}(x)\int _{G_{2}}f_{2}(y)\phi (x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x\\=&\int _{G_{2}}f_{2}(y)\int _{G_{1}}f_{1}(x)\phi (x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(G_{1}\times G_{2}).}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(G_{1}\times G_{2}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8339c31b0712a5be7e02cf8bbc235255f37e093e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.958ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(G_{1}\times G_{2}).}" loading="lazy"> Daraus folgt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f_{1}\otimes f_{2})(\phi )=T_{f_{1}}(T_{f_{2}}(\phi ))=T_{f_{2}}(T_{f_{1}}(\phi )).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79dbd7f16727551de67ae9f2d10686c7c78af98c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:41.991ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (f_{1}\otimes f_{2})(\phi )=T_{f_{1}}(T_{f_{2}}(\phi ))=T_{f_{2}}(T_{f_{1}}(\phi )).}" loading="lazy"></dd></dl>

Hieraus leitet man folgende Definition ab:

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_2">Definition</h4></div>

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {D}}'(G_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {D}}'(G_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/798ee9bc9486356edd5b97004c6ffa595434ce51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.419ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {D}}'(G_{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {D}}'(G_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {D}}'(G_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/714207884638575b5f8a46d85c56905aed10abda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.419ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {D}}'(G_{2})}" loading="lazy">. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{1}\otimes T_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}\otimes T_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ca0a00361486800148063efe524448bb3736b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.664ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{1}\otimes T_{2}}" loading="lazy"> eine Distribution aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(G_{1}\times G_{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'(G_{1}\times G_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d85dd604099ae21fa380cae6489bf47b7ee8f4d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.888ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'(G_{1}\times G_{2})}" loading="lazy">, die durch

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(T_{1}\otimes T_{2})(\phi )&:=T_{1}(T_{2}(\phi ))=T_{2}(T_{1}(\phi ))\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c734d8c00bbafed096064e0a4154302af941353.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.918ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(T_{1}\otimes T_{2})(\phi )&:=T_{1}(T_{2}(\phi ))=T_{2}(T_{1}(\phi ))\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Glättung_einer_Distribution">Glättung einer Distribution</h3></div>

Distributionen können gezielt geglättet bzw. verschmiert bzw. approximiert werden, z. B., indem man die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy">-Distribution durch die reguläre Distribution einer glatten Approximationsfunktionen ersetzt, wie z. B. die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy">-Distribution durch die reguläre Distribution

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\delta _{a}}(\varphi )=\int \limits _{\Omega }\delta _{a}(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48c4c7414d4b475602065350a60787e649dc071e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:24.753ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle T_{\delta _{a}}(\varphi )=\int \limits _{\Omega }\delta _{a}(x)\varphi (x)\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

der oben definierte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{a}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{a}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af467bd5bc10657cdedfeda5fae0b2da705a66f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta _{a}(x)}" loading="lazy"> oder die Heaviside-Distribution durch die reguläre Distribution der Integrale solcher Funktionen. Bei dreidimensionalen Differentialgleichungen kann man so z. B. feststellen, ob die Randbedingungen zu den Differentialgleichungen passen, die für das Innere gelten. Das ist für viele Anwendungen nützlich, zumal die Glättungsfunktionen, bis auf den Limes, nicht eindeutig vorgegeben sind, was zu erhöhter Flexibilität führt. Ebenso kann man auch gezielt Distributionen wie die obige PV-Distribution regularisieren, indem man z. B. die Testfunktionen mit geeigneten Faktoren versieht oder in anderer Weise vorgeht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Faltung_mit_einer_Funktion">Faltung mit einer Funktion</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_3">Definition</h4></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba140a78b648e430d1b5cf667f3dd473de22a969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.659ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> eine Distribution und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12a40c527dd355109731fe36b71d25f78a61a746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> eine Funktion, dann ist die <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> definiert durch

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T*\phi )(x):=T(\phi (x-\cdot ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ef24662f42462befcb2a5fc1af25221a8259fc2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.367ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T*\phi )(x):=T(\phi (x-\cdot ))}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel_2">Beispiel</h4></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> ein Radon-Maß und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\mu }\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\mu }\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98d11378cc0d2d188da178cc04f9ed6acc11e73a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.604ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{\mu }\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> die mit dem Radon-Maß identifizierte Distribution. Dann gilt für die Faltung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12a40c527dd355109731fe36b71d25f78a61a746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mu *\phi )(x):=(T_{\mu }*\phi )(x)=T_{\mu }(\phi (x-\cdot ))=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x-y)\mathrm {d} \mu (y).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a50de3efd71fe2a9f09af06947c16d4128430c80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:62.273ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle (\mu *\phi )(x):=(T_{\mu }*\phi )(x)=T_{\mu }(\phi (x-\cdot ))=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x-y)\mathrm {d} \mu (y).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h4></div>

<ul><li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eine glatte Funktion ist, so stimmt die Definition mit der <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a> von Funktionen überein.</li>

<li>Das Ergebnis der Faltung ist eine glatte Funktion, also gilt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T*\phi )\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/388d74f5c8d7eaac632b5b09db71efd268e807a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.245ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T*\phi )\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">.</dd></dl></li>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba140a78b648e430d1b5cf667f3dd473de22a969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.659ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ,\psi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ,\psi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/882e3230233cc910a63cbfb6cff2ba370f1a6c7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.152ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi ,\psi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> ist die Faltung assoziativ, das heißt, es gilt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T*\phi )*\psi =T*(\phi *\psi )\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58081727154f6c37d5223a7a26caf6aa4b4880f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.785ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T*\phi )*\psi =T*(\phi *\psi )\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">.</dd></dl></li>

<li>Für jeden <a href="Multiindex" title="Multiindex">Multiindex</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> gilt für die Ableitung der Faltung

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial ^{\alpha }(T*\phi )=(\partial ^{\alpha }T)*\phi =T*(\partial ^{\alpha }\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b208cfae2ac82dd21ce238aac42addf86320735e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.156ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial ^{\alpha }(T*\phi )=(\partial ^{\alpha }T)*\phi =T*(\partial ^{\alpha }\phi )}" loading="lazy">.</dd></dl></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Faltung_zweier_Distributionen">Faltung zweier Distributionen</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Definition_4">Definition</h4></div>

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f304724948a3ef606c4a92459e22b87a954d993.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1ba5f12fbb0ff766aec6e22148b429373608555.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{2}}" loading="lazy"> zwei Distributionen, von denen mindestens eine kompakten Träger hat. Dann ist für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12a40c527dd355109731fe36b71d25f78a61a746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T_{1}*T_{2})*\phi =T_{1}*(T_{2}*\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dacb0795a07555e158634e9af709a5c206a4935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.914ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T_{1}*T_{2})*\phi =T_{1}*(T_{2}*\phi )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Abbildung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\ni \phi \mapsto T_{1}*(T_{2}*\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfdf9e1898db5f40ae5ff28bbaad79b1c6dba289.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.627ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\ni \phi \mapsto T_{1}*(T_{2}*\phi )}" loading="lazy"></dd></dl>

ist linear, stetig und kommutiert mit Verschiebungen. Daher gibt es eine eindeutige Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba140a78b648e430d1b5cf667f3dd473de22a969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.659ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">, sodass

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}*(T_{2}*\phi )=T*\phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/154d749134f4fc391a2152dc8b67194a16df1385.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.723ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{1}*(T_{2}*\phi )=T*\phi }" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12a40c527dd355109731fe36b71d25f78a61a746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> gilt.

Bemerkung: Die Bedingung, dass eine Distribution kompakten Träger hat, kann noch weiter abgeschwächt werden.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Eigenschaften_2">Eigenschaften</h4></div>

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der hier schon erwähnten Definitionen. Wählt man für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8dd1c50cb9436474f83624c3f679ccf3eebbfef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.157ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{i}}" loading="lazy"> eine reguläre Distribution, also eine Funktion, so entspricht dies den hier aufgeführten Definitionen. Es gelten die Eigenschaften:

<ul><li>Die Faltung ist kommutativ:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}*T_{2}=T_{2}*T_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f74293e6906ca4d5f6c3dfe9fce07ee8e0049608.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.135ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{1}*T_{2}=T_{2}*T_{1}}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Für den Träger gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {supp} (T_{1}*T_{2})\subseteq \operatorname {supp} (T_{1})+\operatorname {supp} (T_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fce494c2526ae9d1fe2499569ceef3a9328e103.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {supp} (T_{1}*T_{2})\subseteq \operatorname {supp} (T_{1})+\operatorname {supp} (T_{2})}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Für den singulären Träger erhält man:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{1}*T_{2})\subseteq \operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{1})+\operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/719d7f0574a363e0f1584cc2d416cdd825522815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.967ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{1}*T_{2})\subseteq \operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{1})+\operatorname {sing} \,\operatorname {supp} (T_{2})}" loading="lazy"></dd></dl></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Temperierte_Distributionen">Temperierte Distributionen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Temperierte_Distribution" title="Temperierte Distribution">Temperierte Distribution</a></div>

Die temperierten Distributionen bilden eine ausgezeichnete Teilmenge der bis hierhin betrachteten Distributionen auf dem Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40967820fe4c745ac9e5246e47e5897b08b2dc9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">. Auf den temperierten Distributionen ist es möglich, die Fourier- und die Laplace-Transformation zu erklären.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</h3></div>

Um eine <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}}" loading="lazy"> auf Distributionen definieren zu können, muss man die Menge der Distributionen erst einschränken. Nicht jede Funktion ist fouriertransformierbar, analog dazu kann man auch nicht für jede Distribution die Fouriertransformierte erklären. Aus diesem Grund entwickelte <a href="Laurent_Schwartz" title="Laurent Schwartz">Laurent Schwartz</a> den heute nach ihm benannten <a href="Schwartz-Raum" title="Schwartz-Raum">Schwartz-Raum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0078d18e4675b6e7e2acb6c2c25c65294193e36d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.198ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">, indem er diesen Raum über eine Familie von Halbnormen definierte, die bezüglich der Multiplikation mit der Ortsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und der Differentiation danach symmetrisch ist. Weil die Fouriertransformation Differentiation nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und Multiplikation mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> vertauscht, impliziert diese Symmetrie, dass die Fouriertransformierte einer Schwartz-Funktion wieder eine Schwartz-Funktion ist. Auf diesem Raum ist daher die Fourier-Transformation ein <a href="Automorphismus" title="Automorphismus">Automorphismus</a>, also eine stetige, lineare und bijektive Abbildung auf sich selbst. Der topologische <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78ca4a0bc72d2677618a39482625e3f749990455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.908ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">, also der Raum der stetigen, linearen Funktionale von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccc7862ff51318a2cdcb9d750b50d1d0d942788c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.49ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }" loading="lazy">, heißt Raum der temperierten Distributionen. Die Menge der temperierten Distributionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e577a88611d41be7e2cd935d34000ca976f9d54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.202ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}'}" loading="lazy"> ist umfangreicher als die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0169061a154e354d2c6b3ef4bf2b986f31f5588.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.021ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}'}" loading="lazy">, was daran liegt, dass die Menge der Schwartz-Funktionen eine Teilmenge des Raums der glatten Funktionen ist. Je kleiner ein Funktionenraum ist, desto größer ist nämlich sein Dualraum. Daher ist auch die Menge der temperierten Distributionen im Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e2f98d79586d30daa2e37f8c17ac423dec6204.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.477ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}'}" loading="lazy"> enthalten. Denn die Menge der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ist eine Teilmenge des Schwartz-Raums.

Die Fouriertransformation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in S'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in S'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26c6c3bff84adbd86bf82b0f436ee7d0b6655fe0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.389ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in S'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> kann für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in S(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in S(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dc97b6cdfc962400c94d58e737ea7b9ba82da85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.431ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in S(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> durch

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(T)(\phi ):=T({\mathcal {F}}(\phi ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfe98ad52717dd035a6d032bb22557295645f84a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(T)(\phi ):=T({\mathcal {F}}(\phi ))}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert werden. Auch auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78ca4a0bc72d2677618a39482625e3f749990455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.908ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> ist die Fouriertransformation ein Automorphismus. Die Fouriertransformierte der Delta-Distribution ist eine konstante Distribution, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {\delta }})(\phi )=(2\pi )^{-n/2}(\phi )}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {\delta }})(\phi )=(2\pi )^{-n/2}(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cc640d7139dbf6c16d99a69d93915a538d0e672.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.717ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {\delta }})(\phi )=(2\pi )^{-n/2}(\phi )}" loading="lazy">. Ein anderes Beispiel für eine temperierte Distribution ist der oben schon erwähnte Dirac-Kamm.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Faltungstheorem">Faltungstheorem</h3></div>

Im Zusammenhang mit den obigen Definitionen der Faltung zweier Distributionen und der Fouriertransformation einer Distribution ist das <a href="Faltungstheorem#Faltungstheorem_2" class="mw-redirect" title="Faltungstheorem">Faltungstheorem</a> interessant, das man wie folgt formulieren kann:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63d62533ade6a49ab8f4ec6fe30075754b2e44ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.942ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{1}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine temperierte Distribution und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {E}}'(\Omega )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {E}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a2e0e1a87193d52ace7834d96dd0d47c3fc4f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.761ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{2}\in {\mathcal {E}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine Distribution mit kompaktem Träger, dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{1}*T_{2}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}*T_{2}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ab64120d54f39659fc1d0e637c5e04d09fa91e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.549ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{1}*T_{2}\in {\mathcal {S}}'(\Omega )}" loading="lazy"> und das Faltungstheorem für Distributionen besagt:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1}*T_{2})=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}{\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3260fe7038267a20eab19782e859ee4bfe6b8eb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.832ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1}*T_{2})=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}{\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2}).}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Multiplikation zweier Distributionen ist im Allgemeinen nicht definiert. In diesem besonderen Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6541c79a7e25ea61c2b8296d1082b319dddda51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.974ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{1})\cdot {\mathcal {F}}(T_{2})}" loading="lazy"> allerdings sinnvoll, weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{2})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b410bbce2f63feec693565518fd418065210077c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.148ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(T_{2})}" loading="lazy"> eine glatte Funktion ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differentialgleichungen">Differentialgleichungen</h2></div>

Da jede lokal-integrierbare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{loc}^{1}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{loc}^{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47da78b3312e362c009d42679a5f90551292056b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.815ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L_{loc}^{1}}" loading="lazy">-Funktion, insbesondere auch jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy">-Funktion eine Distribution erzeugt, kann man diesen Funktionen im <a href="Schwache_Ableitung" title="Schwache Ableitung">schwachen Sinn</a> eine Distribution als Ableitung zuordnen. Lässt man Distributionen als Lösung einer <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a> zu, so vergrößert sich der Lösungsraum dieser Gleichung. Im Folgenden wird kurz dargelegt, was eine distributionelle Lösung einer Differentialgleichung ist und wie die <a href="Fundamentall%C3%B6sung" title="Fundamentallösung">Fundamentallösung</a> definiert ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lösungen_im_Distributionensinne">Lösungen im Distributionensinne</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Distributionelle_L%C3%B6sung" title="Distributionelle Lösung">Distributionelle Lösung</a></div>

Sei

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial _{x}^{\alpha }u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f21e37ae02667779bbb8dfa9ecffd949019cabe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:24.3ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial _{x}^{\alpha }u}" loading="lazy"></dd></dl>

ein <a href="Differentialoperator" title="Differentialoperator">Differentialoperator</a> mit glatten Koeffizientenfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\alpha }\in C^{\infty }(G)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\alpha }\in C^{\infty }(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91cad89669a07cab4825513da17189ed2ee94284.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{\alpha }\in C^{\infty }(G)}" loading="lazy">. Eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(G)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/433adb1c99b050f11a4e774ca7cc1eaa43a3b1eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.283ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(G)}" loading="lazy"> heißt Distributionenlösung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u(x)=f(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u(x)=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5037ba099534da0e8508eb89381007522b823197.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.31ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u(x)=f(x)}" loading="lazy">, falls die von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9ce1a4a1bdc5e379267fcdde18667137871f9ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> erzeugten Distributionen übereinstimmen. Dies bedeutet

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u(\phi )=f(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7518ede2de5f5b763d29845904a410a28d1b7d8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u(\phi )=f(\phi )}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(G)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c29bd4d94670d158863f51ef771657682a783e4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(G)}" loading="lazy">. Falls die Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"> regulär und sogar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">-mal stetig differenzierbar ist, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"> eine klassische Lösung der Differentialgleichung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_3">Beispiel</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Konstante_Funktionen">Konstante Funktionen</h4></div>

Alle distributionellen Lösungen der eindimensionalen Differentialgleichung

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eab8dd4c7ad1c68a9710feef0dd4cf2c8d4baca1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.213ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x)=0}" loading="lazy"></dd></dl>

sind die konstanten Funktionen. Das heißt, für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c77b33b2bccc0591128fd36e68c3c70869cc23e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}" loading="lazy"> wird die Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial u}{\partial x}}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }0\phi (x)\mathrm {d} x\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial u}{\partial x}}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f5f0508b86a7e755c46ad0466c839915e1f307e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:62.755ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial u}{\partial x}}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }0\phi (x)\mathrm {d} x\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial u}{\partial x}}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=0}" loading="lazy"></dd></dl>

nur von konstantem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"> gelöst.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Poisson-Gleichung">Poisson-Gleichung</h4></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Poisson-Gleichung" title="Poisson-Gleichung">Poisson-Gleichung</a></div>

Ein prominentes Beispiel ist die formale Identität

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \,{\frac {1}{|x-y|}}=-4\pi \,\delta (x-y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0f1e8a0b1d5c467e1e95ae36b1dfab3764932c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.75ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta \,{\frac {1}{|x-y|}}=-4\pi \,\delta (x-y)}" loading="lazy"></dd></dl>

aus der <a href="Elektrostatik" title="Elektrostatik">Elektrostatik</a>, wobei mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> der <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> bezeichnet wird. Präzise bedeutet das

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\phi (y)}{|x-y|}}\mathrm {d} ^{3}y=-4\pi \phi (x).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43d0fc2d2bc7310aa612c01dc47765927b8938fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.783ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\phi (y)}{|x-y|}}\mathrm {d} ^{3}y=-4\pi \phi (x).}" loading="lazy"></dd></dl>

Das heißt

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(x):=\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\phi (y)}{|x-y|}}\mathrm {d} ^{3}y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/232d850b595c51c6c65799809b1c3018d752b5ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.555ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle U(x):=\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\phi (y)}{|x-y|}}\mathrm {d} ^{3}y}" loading="lazy"></dd></dl>

ist für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{3})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48c5116ea145187a059642aa007d7ca450ad36e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.56ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{3})}" loading="lazy"> eine Lösung der Poisson-Gleichung

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta U(x)=-4\pi \phi (x).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/536b6badd2a4349b899eb47f7a724c2a04ffca8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.43ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta U(x)=-4\pi \phi (x).}" loading="lazy"></dd></dl>

Man sagt auch, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{|x-y|}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{|x-y|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/164c0ca08c8dd35f5ded81790e0f18f14137abf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:4.787ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{|x-y|}}}" loading="lazy"> die hier betrachtete Poisson-Gleichung im distributionellen Sinn löst.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fundamentallösungen">Fundamentallösungen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Fundamentall%C3%B6sung" title="Fundamentallösung">Fundamentallösung</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,\partial _{x})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b979a76f10637ae760feb78a0a3433c65bf686ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.325ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})}" loading="lazy"> nun ein linearer Differentialoperator. Eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef2e866a066fe4b836f0051928b817dcc8d800f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.087ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> heißt Fundamentallösung, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> die Differentialgleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=\delta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a06240da74c903efdcaed94e4f237d62ed4de34f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.84ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=\delta _{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

im Distributionensinne löst.

Die Menge aller Fundamentallösungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,\partial _{x})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b979a76f10637ae760feb78a0a3433c65bf686ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.325ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})}" loading="lazy"> ergibt sich durch Addition einer speziellen Fundamentallösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> mit der allgemeinen homogenen Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43910602a221b7a4c373791f94793e3008622070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}}" loading="lazy">. Die allgemeine homogene Lösung ist die Menge der Distributionen, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a78f45940366f365d237a41ff52325309d023a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.916ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=0}" loading="lazy"> gilt. Nach einem Satz von <a href="Bernard_Malgrange" title="Bernard Malgrange">Bernard Malgrange</a> besitzt jeder lineare Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef2e866a066fe4b836f0051928b817dcc8d800f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.087ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy">.

Mit Hilfe dieser Fundamentallösungen erhält man durch Faltung Lösungen entsprechender inhomogener Differentialgleichungen. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine glatte Funktion (oder allgemeiner eine Distribution mit kompaktem Träger), dann ergibt sich wegen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})(H*f)=P(x,\partial _{x})H*f=\delta _{0}*f=f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9af64b06b8aa69e14d6c352335515decdd33d69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.668ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})(H*f)=P(x,\partial _{x})H*f=\delta _{0}*f=f}" loading="lazy"></dd></dl>

eine Lösung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=f}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a53e1e99aab22f71be499fad6e0ba463de1cfdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.032ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x,\partial _{x})u=f}" loading="lazy"> in der Form

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=H*f,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/217cbdfd05c55e6000dff8ec8487cbd4e903565f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.612ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u=H*f,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef2e866a066fe4b836f0051928b817dcc8d800f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.087ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> genauso wie oben eine Fundamentallösung des Differentialoperators ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Harmonische_Distributionen">Harmonische Distributionen</h3></div>

Analog zu den <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonischen Funktionen</a> definiert man auch harmonische Distributionen. So heißt eine Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> harmonisch, wenn sie der <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta T=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e38c84a6911e0a58dc08b85d0d9832d6fc23382b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.833ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta T=0}" loading="lazy"></dd></dl>

im distributionellen Sinne genügt. Da die distributionelle Ableitung allgemeiner ist als das gewöhnliche <a href="Differential_(Mathematik)" title="Differential (Mathematik)">Differential</a>, könnte man auch mehr Lösungen der Laplace-Gleichung erwarten. Das ist jedoch falsch, weil es für jede harmonische Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8b6a9d70b4cb3a4a05816dadec89ae075473f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}" loading="lazy"> eine glatte Funktion gibt, die diese Distribution erzeugt. Es gibt also keine singulären Distributionen, die die Gleichung erfüllen, insbesondere ist der singuläre Träger einer harmonischen Distribution leer. Diese Aussage gilt sogar allgemeiner für <a href="Elliptische_partielle_Differentialgleichung" title="Elliptische partielle Differentialgleichung">elliptische partielle Differentialgleichungen</a>. Für Physiker und Ingenieure bedeutet dies, dass sie in der <a href="Elektrodynamik" title="Elektrodynamik">Elektrodynamik</a>, zum Beispiel in der Theorie der <a href="Maxwellsche_Gleichungen" class="mw-redirect" title="Maxwellsche Gleichungen">maxwellschen Gleichungen</a>, unbedenklich mit Distributionen arbeiten können, auch wenn sie nur an gewöhnlichen Funktionen interessiert sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Distributionen_als_Integralkerne">Distributionen als Integralkerne</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kernsatz_von_Schwartz" title="Kernsatz von Schwartz">Kernsatz von Schwartz</a></div>

Jede Testfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b767196c6991595fb89b06eb9ada81b20926d37b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.813ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}" loading="lazy"> kann man durch

</mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(x)=\int _{\Omega _{2}}K(x,y)\phi (y)\mathrm {d} y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45e52557fe83b10fc565f51ed6eab5c5b87d7620.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.326ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(x)=\int _{\Omega _{2}}K(x,y)\phi (y)\mathrm {d} y}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einem <a href="Integraloperator" title="Integraloperator">Integraloperator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to C(\Omega _{1})}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to C(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84aec0192d554f59db2390a685537f6ac71985f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.06ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to C(\Omega _{1})}" loading="lazy"> identifizieren. Diese Identifikation kann auf Distributionen erweitert werden. So gibt es zu jeder Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40475969c79ead1cb6f29229cac5d275576a340c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.498ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}" loading="lazy"> einen <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearen Operator</a>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bdf55fc7ac59aa19266c7ac171d5567430dc632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.418ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}),}" loading="lazy"></dd></dl>

der für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48fcb07146e6c0598fbc4db0b2c17f2e4eaccb74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.687ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ccc4dd4a436f6e9357ac5368a83d7f1ac93dc6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})}" loading="lazy"> durch

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi \otimes \psi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7645973ad374660b392207869b9cc0c5b0551b3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.001ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi \otimes \psi )}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben ist. Außerdem gilt auch die Rückrichtung. So gibt es zu jedem Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {K}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {K}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a70fc5d5ef4fa8ce694447bef39c1aa167a68b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {K}}}" loading="lazy"> eine eindeutige Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fea4b5006afa0eb81c21b577efe304ab545d571.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K,}" loading="lazy"> sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi ,\psi )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi ,\psi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a38ce880598e219161f2444193d70110ebaecb02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.194ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi ,\psi )}" loading="lazy"> gilt. Diese Identifikation zwischen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b84a802434d76cac011cb06dc789477aaef303a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.771ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}" loading="lazy"> und Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40475969c79ead1cb6f29229cac5d275576a340c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.498ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}" loading="lazy"> ist die Aussage des Kernsatzes von Schwartz. Die Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> trägt auch den Namen Schwartz-Kern in Anlehnung an den Begriff des Integralkerns. Jedoch kann der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b84a802434d76cac011cb06dc789477aaef303a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.771ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {K}}\colon {\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}" loading="lazy"> nicht immer in Form eines Integralterms dargestellt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Distributionen_auf_Mannigfaltigkeiten">Distributionen auf Mannigfaltigkeiten</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rücktransport">Rücktransport</h3></div>

Man kann Distributionen mit Hilfe von <a href="Diffeomorphismus" title="Diffeomorphismus">Diffeomorphismen</a> auf reellen Teilmengen hin- und zurücktransportieren. Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega _{1},\,\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega _{1},\,\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e47d3d94e21e0ab12719a5db24c28d9fb3706b64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.881ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Omega _{1},\,\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> zwei reelle Teilmengen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \colon \Omega _{1}\to \Omega _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \colon \Omega _{1}\to \Omega _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4edcafb7b9b2d4af2bb18521e90aed008340a15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.626ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi \colon \Omega _{1}\to \Omega _{2}}" loading="lazy"> ein Diffeomorphismus, also eine stetig differenzierbare, <a href="Bijektive_Funktion" title="Bijektive Funktion">bijektive Funktion</a>, deren <a href="Umkehrabbildung" class="mw-redirect" title="Umkehrabbildung">Umkehrabbildung</a> ebenfalls stetig differenzierbar ist. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\in C(\Omega _{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\in C(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7cd6b748740113d27ea0ff1544005bc7507e173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.478ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u\in C(\Omega _{2})}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\circ \psi \in C(\Omega _{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\circ \psi \in C(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23397b559b2df0ffd1212f098eb10529b529a318.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u\circ \psi \in C(\Omega _{1})}" loading="lazy"> und für alle Testfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0a372f6e03bd4b8c322367175d014c039c85af0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})}" loading="lazy"> gilt aufgrund des <a href="Transformationssatz" title="Transformationssatz">Transformationssatzes</a> die Gleichung

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega _{1}}u(\psi (x_{1}))\phi (x_{1})\mathrm {d} x_{1}=\int _{\Omega _{2}}u(x_{2})\phi (\psi ^{-1}(x_{2}))\left|\det \left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\psi ^{-1}(x_{2})\right)\right|\mathrm {d} x_{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e2c27317329dc346266ec3e7e5f9733f2355ceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:71.822ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega _{1}}u(\psi (x_{1}))\phi (x_{1})\mathrm {d} x_{1}=\int _{\Omega _{2}}u(x_{2})\phi (\psi ^{-1}(x_{2}))\left|\det \left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\psi ^{-1}(x_{2})\right)\right|\mathrm {d} x_{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Identität motiviert folgende Definition für die Verkettung einer Distribution mit einem Diffeomorphismus: Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd71e991718420057ad9f4a656cfeb615cd2f16b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.495ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})}" loading="lazy">, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\circ \psi \in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\circ \psi \in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/556ac985b44640cc7a477e5c133a35ac517fdd88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.203ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\circ \psi \in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1104039f0147581ff8986504d57351d1f7808558.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.244ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}'(\Omega _{2})}" loading="lazy"> definiert durch

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T\circ \psi )(\phi )\colon =T\left(\left(\phi \circ \psi ^{-1}\right)\left|\det \left({\frac {\partial }{\partial x}}\psi ^{-1}\right)\right|\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b973a2067e81a43a94046cb3108984c5cddf9f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:45.918ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle (T\circ \psi )(\phi )\colon =T\left(\left(\phi \circ \psi ^{-1}\right)\left|\det \left({\frac {\partial }{\partial x}}\psi ^{-1}\right)\right|\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Meistens notiert man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\circ \psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\circ \psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc1afd812eaaa9d4d8e53bb5ac24b833f5ebfea8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.344ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\circ \psi }" loading="lazy"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ^{*}\,T}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ^{*}\,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f6dd18b399be51b1dd9261877cc9edee8897ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \psi ^{*}\,T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c359301ef099f6108cf379876e2fe3a5d76e4ee6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.567ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \psi ^{*}}" loading="lazy"> heißt der <a href="R%C3%BCcktransport" title="Rücktransport">Rücktransport</a> der Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4de28b735beca1303bc5da9ba518a5a22a70a5d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.283ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_5">Definition</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> eine <a href="Differenzierbare_Mannigfaltigkeit#Glatte_Mannigfaltigkeit" title="Differenzierbare Mannigfaltigkeit">glatte Mannigfaltigkeit</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\psi _{i}\colon \Omega _{i}\subset X\to {\tilde {\Omega }}_{i}\subset \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\psi _{i}\colon \Omega _{i}\subset X\to {\tilde {\Omega }}_{i}\subset \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08903eb29620c91aacd81aa44e622270e2ac0816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.524ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\psi _{i}\colon \Omega _{i}\subset X\to {\tilde {\Omega }}_{i}\subset \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}}" loading="lazy"> ein <a href="Atlas_(Mathematik)" title="Atlas (Mathematik)">System von Karten</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'({\tilde {\Omega }}_{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'({\tilde {\Omega }}_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/489f29eee65c96c27d4634269dc9609175942ec0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'({\tilde {\Omega }}_{i})}" loading="lazy">, sodass für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}({\tilde {\Omega }}_{i}\cap {\tilde {\Omega }}_{j})}">

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}({\tilde {\Omega }}_{i}\cap {\tilde {\Omega }}_{j})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b41f822f1dcc4b71e927eb84e77978139214bbc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.475ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}({\tilde {\Omega }}_{i}\cap {\tilde {\Omega }}_{j})}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{j}(\phi )\colon =(\psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1})^{*}\,T_{i}(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1174399ed96d7b41bbbbedc75358ce48d9c029c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:25.905ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle T_{j}(\phi )\colon =(\psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1})^{*}\,T_{i}(\phi )}" loading="lazy"></dd></dl>

in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{i}(\Omega _{j}\cap \Omega _{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{i}(\Omega _{j}\cap \Omega _{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67cea780abe217cf6ddb232fc7468ab8a0257745.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.77ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi _{i}(\Omega _{j}\cap \Omega _{i})}" loading="lazy"> gilt. Dann nennt man das System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon =(T_{i})_{i\in I}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon =(T_{i})_{i\in I}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64334c283340795ad914026c1b023b0eaca6843b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.815ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon =(T_{i})_{i\in I}}" loading="lazy"> eine Distribution auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Diese Distribution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6c647d40422f814759e86a9e5ecdecdd2f72897.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.743ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(X)}" loading="lazy"> ist eindeutig bestimmt und von der Wahl der Karte unabhängig.

Es gibt noch andere Möglichkeiten, Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Die Definition im Zusammenhang mit <a href="Dichteb%C3%BCndel" title="Dichtebündel">Dichtebündeln</a> hat den Vorteil, dass dort kein System lokaler Karten gewählt werden muss.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reguläre_Distributionen_auf_Mannigfaltigkeiten">Reguläre Distributionen auf Mannigfaltigkeiten</h3></div>

Bei dieser Definition kann man wieder jeder stetigen Funktion mittels der Integraldarstellung eine Distribution zuordnen. Sei also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\in C(M)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\in C(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a4b30ad083f07d1e1b30b8886e9cb45ff96cde9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.188ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u\in C(M)}" loading="lazy"> eine stetige Funktion auf der Mannigfaltigkeit, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\circ \psi _{i}^{-1}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\circ \psi _{i}^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/700ee0cd8c1c8a08942bfb0a47349d109439f0bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.37ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle u\circ \psi _{i}^{-1}}" loading="lazy"> eine stetige Funktion auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c16b0eb72591cf118c75e4b484683f5a1968851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.473ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy">. Mittels der Integraldarstellung für reguläre Distributionen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}(\phi )\colon =\int _{{\tilde {\Omega }}_{i}}(u\circ \psi _{i}^{-1})(x_{i})\phi (x_{i})\mathrm {d} x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb1ed7d1c45d7edd61d3890a0f1f41e0443f3abb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:34.04ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle T_{i}(\phi )\colon =\int _{{\tilde {\Omega }}_{i}}(u\circ \psi _{i}^{-1})(x_{i})\phi (x_{i})\mathrm {d} x_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

erhält man ein System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T_{i})_{i\in I},}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T_{i})_{i\in I},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8256121d58ba5f3ed794c820bf519907c70e8969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.338ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (T_{i})_{i\in I},}" loading="lazy"> das eine Distribution auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> bildet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Paul Adrien Maurice Dirac: The principles of quantum mechanics. Clarendon Press, 1947.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Sergei Lwowitsch Sobolew: Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales. Mat. Sb. 1, 1936, S. 39–72.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Laurent Schwartz: Théorie des distributions 1–2. Hermann, 1950–1951.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Laurent Schwartz: Théorie des distributions. 1–2, S. 74, Hermann, 1950–1951.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Lars_H%C3%B6rmander" title="Lars Hörmander">Lars Hörmander</a>: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256), S. 41.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Lars_H%C3%B6rmander" title="Lars Hörmander">Lars Hörmander</a>: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256), S. 41–42.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="Lars_H%C3%B6rmander" title="Lars Hörmander">Lars Hörmander</a>: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256), S. 42.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Israel_Gelfand" class="mw-redirect" title="Israel Gelfand">Israel Gelfand</a>: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).

<ul><li>Band 1: I. M. Gelfand, <a href="Georgi_Jewgenjewitsch_Schilow" title="Georgi Jewgenjewitsch Schilow">G. E. Schilow</a>: Verallgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen. 1960 (<a href="Hochschulb%C3%BCcher_f%C3%BCr_Mathematik" title="Hochschulbücher für Mathematik">Hochschulbücher für Mathematik</a> 47, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220073-2842%22&key=cql">0073-2842</a>).</li>

<li>Band 2: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Lineare topologische Räume, Räume von Grundfunktionen und verallgemeinerten Funktionen. 1962 (Hochschulbücher für Mathematik 48).</li>

<li>Band 3: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Einige Fragen zur Theorie der Differentialgleichungen. 1964 (Hochschulbücher für Mathematik 49).</li>

<li>Band 4: I. M. Gelfand, <a href="Naum_Jakowlewitsch_Wilenkin" title="Naum Jakowlewitsch Wilenkin">N. J. Wilenkin</a>: Einige Anwendungen der harmonischen Analyse. Gelfandsche Raumtripel. 1964 (Hochschulbücher für Mathematik 50).</li>

<li>Nur in russischer Sprache: Обобщенные функции. Том 5: И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Гос. Изд. Физ.-Мат. Лит., Москва 1962.</li></ul></li>

<li><a href="Lars_H%C3%B6rmander" title="Lars Hörmander">Lars Hörmander</a>: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).</li>

<li><a href="Michael_James_Lighthill" title="Michael James Lighthill">M. J. Lighthill</a>: An introduction to Fourier analysis and generalised functions. Reprinted. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (Cambridge monographs on mechanics and applied mathematics).</li>

<li>Klaus-Heinrich Peters: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ediss.sub.uni-hamburg.de/frontdoor.php?source_opus=2181&la=de">Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen. Eine historische Untersuchung über die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosophie und Kunst.</a> Hamburg 2004 (Hamburg, Univ., Diss., 2004).</li>

<li><a href="Wassili_Sergejewitsch_Wladimirow" title="Wassili Sergejewitsch Wladimirow">V. S. Vladimirov</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Generalized_function">Generalized function.</a> In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a>: <a href="Encyclopaedia_of_Mathematics" title="Encyclopaedia of Mathematics">Encyclopaedia of Mathematics</a>. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 1-55608-010-7.</li>

<li>Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1969 (Lecture notes in mathematics. 82, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220075-8434%22&key=cql">0075-8434</a>).</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

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</body></html>